try to learn x try learning

poradí někdo, co je správně
1)
a) I tried to learn something new
b) I tried learning something new
Já bych řekl, že A

2)
a) At first thank you for your patience …
b) First thank you for your patience …
c) Firstly thank you for your patience …
Já bych dal B nebo C (jaký je rozdíl mezi AT FIRST a FIRST?)
Ještě dotaz: může být i „First I thank you …“ – s podmětem?

3)
a) I'm sorry for my each mistake …
b) I appologize for each of my mistake …
Já bych napsal B, i když možná by bylo nejlepší
I appologize for my mistakes, co vy nato?

4)
a) I am going to go on the seaside …
b) I am going to go to a seaside …
Já bych dal B

Poslední věc:
Jak byste řekli anglicky:
„Ani nevím, jak ten čas utekl“.
Šlo by něco jako „I don't know, how the time passed by“?

1a, ale technicky vzato jsou obě správně. Jde o to, co tou větou říkáte. Viz články o gerundiích a o rozdílech mezi infinitivem a gerundiem.
2 – muselo by to být odděleno čárkou, tak jako tak. Říká se B (s čárkou). Bez čárky jsou IMHO všechny odpovědi špatné. I THANK YOU se použít dá, je to ale takové formální, spíš tím oznamujete, že děkujete, samotným THANK YOU děkujete. Nevím jestli mě chápete, prostě to THANK YOU spíš koná, I THANK YOU spíš oznamuje. Ale jinak ve výsledku je to to samé.
3 – v B by muselo být MISTAKES a jen jedno P v APOLOGIZE. Takto jsou obě špatně.
4 – v B by muselo být to THE seaside. Takto jsou opět obě možnosti špatně.

asi trochu otravuju, ale:
1) přečetl jsem si článek o gerundiích a snad i pochopil jaký je základní rozdíl mezi použití infinitivu a ing formy ve spojení TRY (zkusit resp. vyzkoušet).
TRY + ing – snaha něco vyřešit
My stomach aches. Try taking pills.
I cant reach the ceiling. Try jumping.
I am too fat. What shall I do with it? Try jogging.
The food is not tasty. Try salting it.
Účelem není něco zkusit, ale vyzkoušt něco, co by vyřešilo problém.
TRY + to
účelem je zkusit něco udělat.
I tried to jump but my legs were too heavy (účelem byla snaha vyskočit, nikoliv zkusit vyskočit, aby se něco stalo)
atd.

2) pochopil jsem tedy správně, že pokud by za všemi třemi možnostmi byly čárka, tak by byly akceptovatelé? Jestli tomu dobře rozumím, tak běžně se používá „FIRST, thank you …“.
Můžete mě odkázat ještě někam, kde by byl vysvětlen případný rozdíl mezi AT FIRST, FIRST a FIRSTLY?

A ještě poprosím o potvrzení gramatické správnosti (popř. její opravu) věty „I don't know, how the time passed by“ – Ani nevím jak ten čas utekl.

Ještě jsem k bodu jedna zapoměl dodat, že i přesto nerozumím rozdílu mezi oběma výše uvedenými větami. Jaký tedy může být významový rozdíl mezi „I tried to learn …“ and „I tried learning …“?

I tried to learn – pokusil jsem se něco naučit, něco těžkého…
I tried learning – např. jsem se nudil a tak jsem se zkusil naučit něco nového, jestli to moji nudu zažene.

Ne, ta čárka by pomohla v tom B, protože tak se to říká. AT FIRST se používá, když mluvíte o tom, co bylo z počátku, ale potom se to změnilo. Např. AT FIRST I DIDN'T UNDERSTAND ANYTHING BUT THEN I… (z počátku jsem vůbec nerozuměl ale potom…)
FIRSTLY se používá, když uvádíte několik příkladů, které nemají žádné dané pořadí, prostě si jeden vyberete jako první, tedy např.
FIRSTLY WE NEED TO … SECONDLY WE NEED TO… atd atd. Neznamená to, že ty věci musí dělat v tomto pořadí, ale že prostě za prvé musí udělat toto, za druhé tamto a za poslední tamto. Ale je jedno v jakém pořadí.

připojím se trošku do debaty…

Takhle to chápu:

At first we have to…and then…
Ze všeho nejdřív (jako první) musíme…a pak…
At first he didn't want to…but after we told him…
Jde o pořadí, ve kterém se něco bude dít, děje nebo dělo

Firstly we need a car, secondly we have to…
Za prvé potřebujeme auto, za druhé musíme…
Nejde o pořadí, jde jen o výčet. Pořadí lze měnit

Firtsly we need a car and then we have to…
Tak za prvé potřebujme auto a pak musíme ještě…
Nezáleží jestli seženeme nejdřív auto a pak…nebo naopak
Nejde o pořadí, jde jen o výčet. Pořadí lze měnit

Když vykládám že za prvé něco, za druhé něco apod… také nejde o výčet, proto použiju
firstly......, secondly…, thirdly…
nebo
first....., second....., thir­d…

TRY + infinitiv s TO → Snažit se něco udělat
TRY + gerundium → Zkusit něco udělat, vyzkoušet něco

Aspon tak to beru já, tak snad to je správně

mně by zajímal rozdíl mezi TRY TO DO ST. a TRY AND DO ST.
- jestli v tom tedy nějaký rozdíl je?

Rozdíl není. Pokud jsou dvě krátká slovesa za sebou, kdy to druhé je v infinitivu, místo TO se může dát AND:
try and do
try and see
go and see

to onyd:
„At first“ není „jako první“
Je to „z počátku“, jak psal Marek.

AT FIRST I didn't like him but then I realized he was quite a nice guy.

Vaše pochopení, které vysvětlujete právě platí na samotné FIRST:

First we have to buy some flour and then we can bake a (the) cake.

TRY + infinitiv s TO → Snažit se něco udělat a nevím, jestli se mi to podaří

TRY + gerundium → Zkusit něco udělat, vyzkoušet něco – vím, že to zvládnu, bude to snadné, ale zajímá mě výsledek té činnosti, jestli to třeba něčemu pomůže…

TRY TO OPEN THE FINDOW. IT'S STUCK.
TRY OPENING THE WINDOW. IT'S HOT IN HERE.

Jak tu čtu tu diskuzi, tak bych si chtěl ještě něco ujasnit.

First, thank you for your patience – FIRST s čárkou, by se tedy mohlo překládat jako V ÚVODU (nejdřív, zaprvé)

First we have to buy some flour and then we can bake a cake – FIRST bez čárky znamená NEJDŘÍVE musíme …

Myslim, ze Goffy jenom tu carku zapomnel . Pokud to je tedy v tom vyznamu jak o nem pise Marek.

Ne, v té větě FIRST WE HAVE TO… čárka být nemusí a ani nemá.

V té úplně první větě bylo FIRST THANK YOU… tam čárka být musí, jinak to nedává smysl.
Ve větě GOOFYho je FIRST WE HAVE TO, tady to je příslovce, které patří do věty. Stejně tak byste tady neoddělili THEN čárkami.

Ach jo, ted v tom first, at first a firstly mám totální bordel.
Troufl by si někdo vytvořit něco podobnýho, o co jsem se pokusil já? Ale správně.